Realisierbarkeit und Lokalisierung

Let A be a differential graded algebra with cohomology ring HA. A graded module over HA is called realisable if it is (up to direct summands) of the form HM for some differential graded A-module M . Benson, Krause and Schwede have stated a local and a global obstruction for realisability. The global obstruction is given by the Hochschild class determined by the secondary multiplication of the A∞-algebra structure of HA. In this thesis we mainly consider differential graded algebras A with graded-commutative cohomology ring. We show that a finitely presented graded HA-module X is realisable if and only if its p-localisation Xp is realisable for all graded prime ideals p of HA. In order to obtain such a local-global principle also for the global obstruction, we define the localisation of a differential graded algebra A at a graded prime p of HA, denoted by Ap , and show the existence of a morphism of differential graded algebras inducing the canonical map HA → (H∗A)p in cohomology. The latter result actually holds in a much more general setting: we prove that every smashing localisation on the derived category of a differential graded algebra is induced by a morphism of differential graded algebras. Finally we discuss the relation between realisability of modules over the group cohomology ring and the Tate cohomology ring. Zusammenfassung. Sei A eine differenziell graduierte Algebra mit Kohomologiering HA. Ein graduierter HA-Modul heißt realisierbar, falls man ihn (bis auf direkte Summanden) mit einem HA-Modul von der Form HM identifizieren kann, wobei M ein differenziell graduierter A-Modul ist. Benson, Krause und Schwede haben ein lokales und ein globales Hindernis für Realisierbarkeit angegeben. Das globale Hindernis ist durch eine Hochschild Klasse gegeben, welche durch die sekundäre Mulitplikation der A∞-Algebra-Struktur von H A bestimmt ist. In dieser Doktorarbeit betrachten wir hauptsächlich differenziell graduierte Algebren A mit graduiert-kommutativen Kohomologieringen. Wir zeigen, dass ein endlich präsentierter graduierter HA-Modul X genau dann realisierbar ist, wenn dessen pLokalisierung Xp für alle graduierten Primideale p von H A realisierbar ist. Um ein solches Lokal-Global Prinzip auch für globale Realisierbarkeit zu formulieren, definieren wir die Lokalisierung einer differenziell graduierten Algebra A an einem Primideal p von HA und bezeichnen sie mit Ap . Wir zeigen die Existenz eines Morphismus von differenziell graduierten Algebren, der in der Kohomologie die kanonische Abbildung HA → (H∗A)p induziert. Letzteres Resultat beweisen wir in einem wesentlich allgemeineren Kontext: Wir zeigen, dass jede mit direkten Summen kommutierende Lokalisierung der derivierten Kategorie einer differenziell graduierten Algebra von einem Morphismus von differenziell graduierten Algebren induziert ist. Abschließend diskutieren wir den Zusammenhang von Realisierbarkeit von Moduln über dem Gruppen-Kohomologiering und dem Tate-Kohomologiering.